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<!DOCTYPE html>

<title>Ganzrationale Funktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Ganzrationale Funktion</h1>

</header>

</div>

Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a>, die als Summe von <a href="Potenzfunktion" title="Potenzfunktion">Potenzfunktionen</a> mit natürlichen <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Exponenten</a> beschrieben werden kann. Somit können solche Funktionen ausschließlich mittels der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation beschrieben werden. Ganzrationale Funktionen gehören zu den <a href="Rationale_Funktion" title="Rationale Funktion">rationalen Funktionen</a> und enthalten ihrerseits als Spezialfälle die <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">linearen</a> und <a href="Quadratische_Funktion" title="Quadratische Funktion">quadratischen Funktionen</a>.

Dieser Artikel beschäftigt sich hauptsächlich mit den in der Schulmathematik üblichen ganzrationalen Funktionen über den reellen Zahlen. Weiterführende Informationen zu möglichen Verallgemeinerungen des Konzepts finden sich im Artikel <a href="Polynom" title="Polynom">Polynom</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine ganzrationale Funktion ist eine <a href="Reelle_Funktion" class="mw-redirect" title="Reelle Funktion">reelle Funktion</a>, die sich in der Gestalt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4898711b526a3cb24bf96a5100ce474a4f08aee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:60.778ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}" loading="lazy"></dd></dl>

schreiben lässt, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> eine <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahl</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{2},a_{1},a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{2},a_{1},a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81d6bfc8506d823573e7841639fe5e4750211e98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{2},a_{1},a_{0}}" loading="lazy"> <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahlen</a> sind und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cf50204372c4d2e24c37aace0035de48b877973.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.709ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{n}\neq 0}" loading="lazy"> gilt.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> heißt Grad der Funktion, die Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{2},a_{1},a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{2},a_{1},a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81d6bfc8506d823573e7841639fe5e4750211e98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{2},a_{1},a_{0}}" loading="lazy"> sind ihre <a href="Koeffizient" title="Koeffizient">Koeffizienten</a>. Der Koeffizient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> wird als Leitkoeffizient bezeichnet. Der Summand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}x^{0}=a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}x^{0}=a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a71823ff67885b36899f944c4f567b76f9f9318.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.05ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}x^{0}=a_{0}}" loading="lazy"> heißt Absolutglied, die Summanden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47bed450fae78bb6ec7eae7ce31a5961bff5ebdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.614ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{2}x^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d64ee465c5def316b07678c3dc48587adde46bca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.668ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{2}x^{2}}" loading="lazy"> werden manchmal als lineares beziehungsweise quadratisches Glied bezeichnet.

Außerdem ist auch die reelle Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf85883d74b75fe35ca8d3f2b44802df078e4fa1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.678ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=0}" loading="lazy"> eine ganzrationale Funktion; sie wird auch das Nullpolynom genannt. Auf diese Weise sind alle endlichen Summen von Summanden der Gestalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}x^{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}x^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe9eb7479f05f13fa907d24a6278cd0350a7b28a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.737ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{k}x^{k}}" loading="lazy"> mit beliebigen reellen Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05e256a120c3ab9f8958de71acdf81cd75065e3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{k}}" loading="lazy"> ganzrationale Funktionen. Da bei der konstanten <a href="Nullfunktion" title="Nullfunktion">Nullfunktion</a> keines der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05e256a120c3ab9f8958de71acdf81cd75065e3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{k}}" loading="lazy"> ungleich Null ist, ist für diese ganzrationale Funktion kein Grad definiert.

Die hier angegebene Darstellung der ganzrationalen Funktion ist ihre <a href="Normalform" title="Normalform">Normalform</a>. Beispielsweise kann man eine ganzrationale Funktion auch mittels Linearfaktoren oder mittels des <a href="Horner-Schema" title="Horner-Schema">Horner-Schemas</a> darstellen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Die Funktion mit der Funktionsgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5297000b874f821d1adfa624b62f858555709f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.593ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4}" loading="lazy"> ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 mit den Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -2,3,-5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2,3,-5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33fe7c46a3195bff727dc757b9c47f8933c22484.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -2,3,-5}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 4}" loading="lazy">.</li>

<li>Bei der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x(x-1)(x+3)^{2}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x(x-1)(x+3)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75257af292e42530d5fdce3e1ec8230da1c275f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.899ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x(x-1)(x+3)^{2}}" loading="lazy"> muss der Funktionsterm zunächst durch Auflösen der Klammern in eine Summe umgeschrieben werden:</li></ul>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=-2x(x-1)(x+3)^{2}=(-2x^{2}+2x)(x^{2}+6x+9)\\&=-2x^{4}-10x^{3}-6x^{2}+18x,\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f48c668e7822b6e3bc97f11398b9c960146e7a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:57.029ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=-2x(x-1)(x+3)^{2}=(-2x^{2}+2x)(x^{2}+6x+9)\\&=-2x^{4}-10x^{3}-6x^{2}+18x,\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>der Grad ist also 4 und die Koeffizienten sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -2,-10,-6,18}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2,-10,-6,18}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f139270828013e1cc0aa41d83f59d58f22ce72e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.501ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -2,-10,-6,18}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">.</dd></dl>

<ul><li>Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 5}" loading="lazy"> mit den Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1,0,{\sqrt {2}},-2\pi ,0,1}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1,0,{\sqrt {2}},-2\pi ,0,1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/feb4d240766d49da5c7a4267a3b6c095ccc5aa44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.029ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle -1,0,{\sqrt {2}},-2\pi ,0,1}" loading="lazy"> kann der Funktionsterm geschrieben werden als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=-x^{5}+{\sqrt {2}}x^{3}-2\pi x^{2}+1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=-x^{5}+{\sqrt {2}}x^{3}-2\pi x^{2}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc43701d974512532b514026c25af9277fcb14b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.752ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=-x^{5}+{\sqrt {2}}x^{3}-2\pi x^{2}+1}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialfälle">Spezialfälle</h2></div>

<ul><li>Ohne einen definierten Grad gibt es das Nullpolynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 0}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df83f4b8ba0e7107b4fcc2651a957ddd20205acd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.423ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 0}" loading="lazy">, eine <a href="Konstante_Funktion" title="Konstante Funktion">konstante Funktion</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d03e1056112eb63f3d6213ceb85f5a584923535.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.545ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{0}\neq 0}" loading="lazy"> ergeben sich weitere konstante Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{0}}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcd1372f975ee1c0bf4b0cc41720ee3da5942ece.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.544ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{0}}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}" loading="lazy"> ergeben sich <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">lineare Funktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{1}x+a_{0}}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{1}x+a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e57a35aa89af5019056c963f595fe998ed925621.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.999ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{1}x+a_{0}}" loading="lazy"> (statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> schreibt man für die Steigung hier also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}}" loading="lazy">, und statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> für den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achsenabschnitt also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/693ad9f934775838bd72406b41ada4a59785d7ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}}" loading="lazy">).</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a02c8bd752d2cc859747ca1f3a508281bdbc3b34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=2}" loading="lazy"> ergeben sich <a href="Quadratische_Funktion" title="Quadratische Funktion">quadratische Funktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35567f4fceccf1a089ff202f904f5e375533cb22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.507ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}" loading="lazy"> (statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> schreibt man hier also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/270580da7333505d9b73697417d0543c43c98b9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{2}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/693ad9f934775838bd72406b41ada4a59785d7ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}}" loading="lazy">).</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c5a5a42ced00df920fad4ab2d4acdb960a4105b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=3}" loading="lazy"> ergeben sich <a href="Kubische_Funktion" title="Kubische Funktion">kubische Funktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/533039093b647e9a9343aced8e4b6f7c2166ffae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:39.015ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d928ec15aeef83aade867992ee473933adb6139d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=4}" loading="lazy"> spricht man manchmal von <a href="Quartische_Gleichung" title="Quartische Gleichung">quartischen Funktionen</a>.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cf50204372c4d2e24c37aace0035de48b877973.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.709ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{n}\neq 0}" loading="lazy"> und alle anderen Koeffizienten sind gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">, so ergibt sich eine <a href="Potenzfunktion" title="Potenzfunktion">Potenzfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{n}x^{n}}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{n}x^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d752e8e66c60fcf271b89ce9420e6dded78009.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.257ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto a_{n}x^{n}}" loading="lazy"> mit natürlichem <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Exponenten</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Algebraische_Eigenschaften">Algebraische Eigenschaften</h2></div>

Die Addition und die Multiplikation zweier ganzrationaler Funktionen ergeben wieder ganzrationale Funktionen. Somit bildet die Menge der ganzrationalen Funktionen eine <a href="Algebra_%C3%BCber_einem_K%C3%B6rper" title="Algebra über einem Körper">Algebra über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></a>. Für den Grad ganzrationaler Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> gelten die Abschätzung beziehungsweise Gleichheit

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42aa2adf62565865d6c53a6775c0306cda15d9ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)}" loading="lazy"></dd></dl>

und

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aeb1b487cba3c6be0b09490e2ee73adaea707696.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.453ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \deg f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \deg f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f194fcb353ccf18cf61c0b9533e2016ac974501b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.153ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \deg f}" loading="lazy"> den Grad von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">.

Außerdem ist auch die <a href="Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Verkettung</a> zweier ganzrationaler Funktionen wieder eine ganzrationale Funktion, das heißt, man erhält wieder eine ganzrationale Funktion, wenn man für die Funktionsvariable eine ganzrationale Funktion einsetzt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Symmetrie">Symmetrie</h2></div>

<ul><li>Sind alle <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Exponenten</a> <a href="Gerade_Zahl" class="mw-redirect" title="Gerade Zahl">gerade</a> Zahlen, so ist der Graph der Funktion <a href="Achsensymmetrische_Funktion" class="mw-redirect" title="Achsensymmetrische Funktion">achsensymmetrisch</a> zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse. Die Funktion heißt dann auch <a href="Gerade_Funktion" class="mw-redirect" title="Gerade Funktion">gerade</a>; es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(-x)=f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(-x)=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/185fd2e78903788bc5756b067d0ac6aae1846724.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.742ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(-x)=f(x)}" loading="lazy">.</li>

<li>Sind alle <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Exponenten</a> <a href="Ungerade_Zahl" class="mw-redirect" title="Ungerade Zahl">ungerade</a> Zahlen, so ist der Graph der Funktion <a href="Punktsymmetrische_Funktion" class="mw-redirect" title="Punktsymmetrische Funktion">punktsymmetrisch</a> zum Ursprung. Die Funktion heißt dann auch <a href="Ungerade_Funktion" class="mw-redirect" title="Ungerade Funktion">ungerade</a>; es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(-x)=-f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(-x)=-f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b022ffe516cf5bc26a68fd954753aa2bddf508f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.55ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(-x)=-f(x)}" loading="lazy">.</li>

<li>Treten sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auf, so hat der Graph keine einfache Symmetrie; er kann aber dennoch symmetrisch zu anderen Achsen oder Punkten sein.</li></ul>

Beispiele:

<ul><li>Der Graph der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{6}+3x^{4}-x^{2}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{6}+3x^{4}-x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49ce3f71764a2fec621e16c4d550c6bb5ae3d246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.226ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{6}+3x^{4}-x^{2}}" loading="lazy"> ist symmetrisch zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse (nur gerade Exponenten: 6, 4 und 2).</li>

<li>Der Graph der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{7}+x}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{7}+x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45a0bf06c7bbfecd907c829c6d4b748929e0b13b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.814ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{7}+x}" loading="lazy"> ist symmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten: 7 und 1).</li>

<li>Der Graph der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{3}+1}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{3}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1833aa8bfe016eff4559af94a3b9315da0ad3ead.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.647ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{3}+1}" loading="lazy"> hat keine einfache Symmetrie (ungerade und gerade Exponenten: 3 und 0), ist aber punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(0|1)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(0|1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3dbfacd3c6809b8fd2e583ac19900e85367eacd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.216ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(0|1)}" loading="lazy">.</li>

<li>Der Graph jeder ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist achsensymmetrisch zur senkrechten Achse durch seinen <a href="Scheitelpunkt" title="Scheitelpunkt">Scheitelpunkt</a>.</li>

<li>Der Graph jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu seinem <a href="Wendepunkt" title="Wendepunkt">Wendepunkt</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grenzverhalten">Grenzverhalten</h2></div>

Allgemein wird das Verhalten für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy"> durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten, das Verhalten für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/198f68f84d9d1c77e6d312f0c99bd0397e5ee49b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.106ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to 0}" loading="lazy"> durch die Summanden mit den niedrigsten Exponenten bestimmt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wachstum">Wachstum</h3></div>

Ganzrationale Funktionen können als <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombinationen</a> von <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Potenzen</a> aufgefasst werden. Daher wachsen sie (für hinreichend große Werte) langsamer als jede <a href="Exponentiell" class="mw-redirect" title="Exponentiell">exponentielle</a> Funktion, deren Basis größer als 1 ist, unabhängig von den Koeffizienten.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verhalten_für_sehr_große_und_sehr_kleine_x-Werte">Verhalten für sehr große und sehr kleine x-Werte</h3></div>

Alle nicht-konstanten ganzrationalen Funktionen <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">divergieren</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy">. Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad n gerade oder ungerade ist, und welches <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> der Leitkoeffizient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> hat; der Graph verhält sich dabei genauso wie der Graph einer <a href="Potenzfunktion" title="Potenzfunktion">Potenzfunktion</a> mit dem Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c5d7246fb26c867a05c7c5200d238efeb6757fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.35ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n}}" loading="lazy">. Angegeben ist im Folgenden außerdem die daraus folgende <a href="Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Wertemenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {W} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {W} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f81df0267d365e3ae2677be39a2dabdec4b4e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {W} }" loading="lazy"> für den Fall, dass die <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/483040d69eef10580bcebb3205707a506d0b04c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} }" loading="lazy"> ist.

<th>n gerade</th>

<th>n ungerade

</th></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19e309b94a4f0d733334d2cdc304ad38162c9d5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.709ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n}>0}" loading="lazy">

</td>

<td style="text-align:center">Der Graph verläuft von links oben nach rechts oben, also: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b427a18385f778ea22d3bc7f57b1a9068467aa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.355ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\to \infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {W} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {W} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f81df0267d365e3ae2677be39a2dabdec4b4e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {W} }" loading="lazy"> ist nach unten <a href="Beschr%C3%A4nkt" class="mw-redirect" title="Beschränkt">beschränkt</a> (durch das absolute Minimum der Funktion).

</td>

<td style="text-align:center">Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben, also: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9992f966aa8d380df070a810200e6e34dbdd9dda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.164ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\to -\infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a02931d12f93c144745ec549edf61e85fba2c3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to -\infty }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b427a18385f778ea22d3bc7f57b1a9068467aa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.355ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\to \infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda2caf97ec29f30d5f0c0cd7135393361efc020.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.268ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x\to \infty }" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b7ccf25f5ca4186f75e4b59921d596475e750c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.1ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }" loading="lazy">.

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b24b88afdab4014cfc1dd5750216b8aad563427c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.709ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n}<0}" loading="lazy">

</td>

<td style="text-align:center">Der Graph verläuft von links unten nach rechts unten, also: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9992f966aa8d380df070a810200e6e34dbdd9dda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.164ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\to -\infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {W} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {W} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f81df0267d365e3ae2677be39a2dabdec4b4e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {W} }" loading="lazy"> ist nach oben <a href="Beschr%C3%A4nkt" class="mw-redirect" title="Beschränkt">beschränkt</a> (durch das absolute Maximum der Funktion).

</td>

<td style="text-align:center">Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten, also: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b427a18385f778ea22d3bc7f57b1a9068467aa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.355ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\to \infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a02931d12f93c144745ec549edf61e85fba2c3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to -\infty }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9992f966aa8d380df070a810200e6e34dbdd9dda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.164ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\to -\infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda2caf97ec29f30d5f0c0cd7135393361efc020.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.268ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x\to \infty }" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b7ccf25f5ca4186f75e4b59921d596475e750c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.1ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} }" loading="lazy">.

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verhalten_für_x-Werte_nahe_null">Verhalten für x-Werte nahe null</h3></div>

Alle ganzrationalen Funktionen sind für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/198f68f84d9d1c77e6d312f0c99bd0397e5ee49b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.106ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to 0}" loading="lazy"> endlich. Genauer gilt: Der Graph schneidet die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/693ad9f934775838bd72406b41ada4a59785d7ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}}" loading="lazy">, die Steigung an dieser Stelle ist durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}}" loading="lazy"> gegeben. Die <a href="Tangente" title="Tangente">Tangente</a> im Schnittpunkt mit der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse hat also immer die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=a_{1}x+a_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a_{1}x+a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ce97f185429e7b980e67d8e43979cddeb8653a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.992ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle y=a_{1}x+a_{0}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Der Graph der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}+4x^{3}-3x+1}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}+4x^{3}-3x+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92fd767ccd448e908e35c36e92476bdc36166d49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:36.337ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}+4x^{3}-3x+1}" loading="lazy"> verläuft für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy"> wie der Graph der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbf72f210171a72271ba9e224b8e9995ea23fcd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.452ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -2x^{5}}" loading="lazy">, also von links oben nach rechts unten (Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdb41e9a10a8fd7179b9170149a8d70949ba5d03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=5}" loading="lazy"> ungerade, Leitkoeffizient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{5}=-2<0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{5}=-2<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/612dd7abc26c0f03f0fb9ae6fc3400a476695dcf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.614ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{5}=-2<0}" loading="lazy">). Für die Funktionswerte gilt also: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b427a18385f778ea22d3bc7f57b1a9068467aa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.355ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\to \infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a02931d12f93c144745ec549edf61e85fba2c3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to -\infty }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9992f966aa8d380df070a810200e6e34dbdd9dda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.164ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\to -\infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda2caf97ec29f30d5f0c0cd7135393361efc020.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.268ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x\to \infty }" loading="lazy">. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/198f68f84d9d1c77e6d312f0c99bd0397e5ee49b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.106ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to 0}" loading="lazy"> verläuft er dagegen wie der Graph von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(x)=-3x+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(x)=-3x+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c284628615e69d42d09e50fd7040c1c151effe1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.88ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(x)=-3x+1}" loading="lazy">, er schneidet die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse also bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> und hat dort die Steigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e8ffb51bb3837cabdd202845d15aedc67a4ac88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -3}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Nullstellen">Nullstellen</h2></div>

Als <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstellen</a> einer ganzrationalen Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> werden jene Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy"> bezeichnet, für die der Funktionswert null ist, das heißt, die die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\xi )=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\xi )=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e353432ea213c40d4917d98a6219a9e0e6f53f7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.379ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\xi )=0}" loading="lazy"> erfüllen. Eine ganzrationale Funktion hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie ihr Grad angibt. Die konstante Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf85883d74b75fe35ca8d3f2b44802df078e4fa1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.678ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=0}" loading="lazy">, das Nullpolynom, hat unendlich viele Nullstellen. Die ganzrationalen Funktionen vom Grad 0, nämlich die konstanten Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a77b872bdff3e42e3f5edcc5b8c2ffc4864194d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.746ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=a}" loading="lazy"> für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 0}" loading="lazy">, haben dagegen keine Nullstellen, so wie es ihrem Grad entspricht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Linearfaktorzerlegung">Linearfaktorzerlegung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Faktorisierung_von_Polynomen" title="Faktorisierung von Polynomen">Faktorisierung von Polynomen</a></div>

Ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion als Produkt von linearen Faktoren (von denen manche auch mehrfach auftreten können) und evtl. einer ganzrationalen Funktion g ohne Nullstellen gegeben, also

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsm (x-x_{m})^{k_{m}}\cdot g(x),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d18d66f49312407d36201cc86e023e4a8258f357.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.249ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsm (x-x_{m})^{k_{m}}\cdot g(x),}" loading="lazy"></dd></dl>

so sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/659580d3f8498a91e57a66480404452cdd489081.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.985ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}}" loading="lazy"> die Nullstellen. Die <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e88073db1787e5b9b76078fd83747cf6818a8053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.629ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}" loading="lazy"> heißen die Vielfachheiten der Nullstellen.

Beispiel: Die Funktion

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d174cbbaf72a837a2beaa20aaf714f0cda473d87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.837ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto -0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)}" loading="lazy"></dd></dl>

hat die dreifache Nullstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29d278bb750c26d4220fe951a98423a8e9cf354b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=0}" loading="lazy">, die einfache Nullstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=2}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a36ef675d437dfdcf802378f2a0a578bab70a7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=2}" loading="lazy"> und die doppelte/zweifache Nullstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{3}=-3}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{3}=-3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec4052be5ea47c3408b5aef6f4c310ccca903ffb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.453ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{3}=-3}" loading="lazy">; die Faktoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -0{,}01}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -0{,}01}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8013f84b7815f7ffbff87452145e0a437593853.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.942ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -0{,}01}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92a3a8d23f9f8123651e496dcf8490990c65cf9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+1}" loading="lazy"> können dagegen für kein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> zu null werden, liefern also keine weiteren Nullstellen.

Die Linearfaktorzerlegung einer ganzrationalen Funktion kann man beispielsweise mit Hilfe der <a href="Polynomdivision" title="Polynomdivision">Polynomdivision</a> bestimmen. Aus dem <a href="Fundamentalsatz_der_Algebra" title="Fundamentalsatz der Algebra">Fundamentalsatz der Algebra</a> folgt, dass sich so jede ganzrationale Funktion über den <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a> in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen lässt. Hat die Funktion nur reelle Koeffizienten, so folgt, dass mit jeder komplexen Nullstelle auch die jeweils konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle ist. Damit ergibt sich: jede ganzrationale Funktion über den reellen Zahlen kann (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als ein Produkt aus <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">linearen</a> und <a href="Quadratische_Funktion" title="Quadratische Funktion">quadratischen</a> Termen dargestellt werden.

Die Vielfachheit von Nullstellen hängt auch direkt mit den <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitungen</a> der Funktion zusammen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ist genau dann eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">-fache Nullstelle von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, wenn gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4b9197a2bfa17e8bceab490b8affce85f087d0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.932ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f152266d7f8199e50dfdfda4c52b6bc85f2589d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.143ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verlauf_des_Graphen_bei_den_Nullstellen">Verlauf des Graphen bei den Nullstellen</h3></div>

<ul><li>Bei jeder Nullstelle <a href="Ungerade_Zahl" class="mw-redirect" title="Ungerade Zahl">ungerader</a> Vielfachheit schneidet der Graph die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen. Bei einfachen Nullstellen wird die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse in einem Winkel größer als 0° geschnitten. Bei jeder Nullstelle ungerader Vielfachheit größer gleich drei ist die Steigung an der Nullstelle 0; der Funktionsgraph hat einen <a href="Terrassenpunkt" class="mw-redirect" title="Terrassenpunkt">Terrassenpunkt</a>.</li></ul>

<ul><li>Bei jeder Nullstelle <a href="Gerade_Zahl" class="mw-redirect" title="Gerade Zahl">gerader</a> Vielfachheit berührt der Graph die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen nicht. Bei jeder solchen Nullstelle hat der Funktionsgraph einen <a href="Extrempunkt" class="mw-redirect" title="Extrempunkt">Extrempunkt</a>.</li></ul>

Graphische Veranschaulichung:

<th style="text-align:center">einfache Nullstelle</th>

<th style="text-align:center">drei-, fünf-, 2k+1-fache Nullstelle</th>

<th style="text-align:center">doppelte, vier-, 2k-fache Nullstelle

</th></tr>

<tr>

</td></tr></tbody></table>

Berücksichtigt man außerdem noch das Verhalten für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy">, so ergibt sich für das obige Beispiel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=-0{,}01x^{3}(x-2)(x+3)^{2}(x^{2}+1)}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=-0{,}01x^{3}(x-2)(x+3)^{2}(x^{2}+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f6495053984526b9dc2e4575aa06bb57884b25f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.376ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=-0{,}01x^{3}(x-2)(x+3)^{2}(x^{2}+1)}" loading="lazy"> folgender Graph:

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anzahl_von_Nullstellen">Anzahl von Nullstellen</h3></div>

Mit Hilfe der <a href="Polynomdivision" title="Polynomdivision">Polynomdivision</a> kann man zeigen, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> höchstens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Nullstellen haben kann (Vielfachheiten mitgezählt).

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy">, das Verhalten an den Nullstellen (<a href="Vorzeichenwechsel" title="Vorzeichenwechsel">Vorzeichenwechsel</a>) und die <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">Stetigkeit</a>, so folgt außerdem: Ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die Anzahl der Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt) gerade bzw. ungerade. Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle.

Außerdem gibt es noch andere, weiterführende Regeln für die Anzahl der Nullstellen wie beispielsweise die <a href="Vorzeichenregel_von_Descartes" title="Vorzeichenregel von Descartes">Vorzeichenregel von Descartes</a> und die <a href="Sturmsche_Kette" title="Sturmsche Kette">sturmsche Kette</a>.

Der <a href="Fundamentalsatz_der_Algebra" title="Fundamentalsatz der Algebra">Fundamentalsatz der Algebra</a> besagt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ce9ce38d06f6bf5a3fe063118c09c2b6202bfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 1}" loading="lazy"> mindestens eine <a href="Komplexe_Zahlen" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">komplexe</a> Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann hat sie genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Nullstellen, wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f39b6e42e5ffb81ac7b051b9e48b9a91d0713c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=2}" loading="lazy"> der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x-2)^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x-2)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80ee44ffa5764a8e1f25ee0dc8adf6e66a22ac29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.196ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x-2)^{2}}" loading="lazy"> eine doppelte. Im Ergebnis lässt sich jede ganzrationale Funktion positiven Grades in ein <a href="Produkt_(Mathematik)" title="Produkt (Mathematik)">Produkt</a> von <a href="Linearfaktor" class="mw-redirect" title="Linearfaktor">Linearfaktoren</a> zerlegen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nullstellenschranken">Nullstellenschranken</h3></div>

Die Lage aller Nullstellen einer ganzrationalen Funktion vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Reelle_Nullstellenschranken">Reelle Nullstellenschranken</h4></div>

Ein wichtiger Spezialfall sind reelle Nullstellenschranken. Eine Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8972dc624206b40dcfa08c8bf604e5f2d6320b25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}" loading="lazy"> heißt reelle Nullstellenschranke einer ganzrationalen Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, wenn alle reellen Nullstellen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [-B,B]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [-B,B]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6ea01cdb6249757b18f2e64751e158a148edceb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.664ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [-B,B]}" loading="lazy"> liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, wenn alle reellen Nullstellen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> kleiner oder gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt.

Es folgen Beispiele reeller Nullstellenschranken für ganzrationale Funktionen

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0c68e50ccee9c3eaad29de1206676d5daf8068a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.79ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}}" loading="lazy">,</dd></dl>

deren führender Koeffizient eins ist. Jede ganzrationale Funktion kann durch eine Division auf diese Form gebracht werden. Für einige reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=\left\{k\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\mid a_{k}<0\right\}}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=\left\{k\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\mid a_{k}<0\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3565898861b18f48dfefbb476d37c02f0a1ca93a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.315ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N=\left\{k\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\mid a_{k}<0\right\}}" loading="lazy"> der echt negativen Koeffizienten von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine besondere Rolle, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |N|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |N|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9becad1e12f3234bef53f3d619b7c9c8dfc2b5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.357ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |N|}" loading="lazy"> bezeichnet deren Anzahl.

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B=\max \left\{\left.\left(|N|\cdot |a_{i}|\right)^{\frac {1}{n-i}}\right|i\in N\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df6f6f2d2e6ceff3006131fa12834e8ae13ee779.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.339ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle B=\max \left\{\left.\left(|N|\cdot |a_{i}|\right)^{\frac {1}{n-i}}\right|i\in N\right\}}" loading="lazy"> ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Cauchy-Regel),</li>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B=\min\{x\in \mathbb {R} :f^{(i)}(x)\geq 0{\text{ für alle }}i=0,\dotsc ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6413e13365facb5b34846668a4e791538f9dc4d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:49.555ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle B=\min\{x\in \mathbb {R} :f^{(i)}(x)\geq 0{\text{ für alle }}i=0,\dotsc ,n\}}" loading="lazy"> ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel),</li>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B=1+{\sqrt[{n-k}]{\alpha }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d2c45b7d0b729fdd94f8ac6fd093ee03302f7a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.54ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle B=1+{\sqrt[{n-k}]{\alpha }}}" loading="lazy"> ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Regel von Lagrange und Maclaurin), dabei bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\max\{|a_{m}|\mid a_{m}<0\}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\max\{|a_{m}|\mid a_{m}<0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58791fe3d072aebd869f2a19f2f6d6503860d718.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.538ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\max\{|a_{m}|\mid a_{m}<0\}}" loading="lazy"> den Betrag des betragsgrößten negativen Koeffizienten und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=\max\{m\mid a_{m}<0\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=\max\{m\mid a_{m}<0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97e3ce5da1efa6e0f20b424c37a63026d51ca85b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.104ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k=\max\{m\mid a_{m}<0\}}" loading="lazy"> den Exponenten des höchsten Gliedes mit negativem Koeffizienten.</li>

<li>Jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8972dc624206b40dcfa08c8bf604e5f2d6320b25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}" loading="lazy">, das die Ungleichung</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B^{n}\geq \sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|B^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25438ef10b0933e846489a036e4bb1c468e2d949.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.71ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle B^{n}\geq \sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|B^{i}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (solche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> sind sogar Schranken für die Beträge komplexer Nullstellen komplexer Polynome). Spezialfälle hiervon sind (siehe auch <a href="Satz_von_Gerschgorin" title="Satz von Gerschgorin">Satz von Gerschgorin</a>)</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B=1+\max \nolimits _{i=0,\,\ dotsc,\,n-1}|a_{i}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c59924af5463e346360920cba3e7643f146eafe8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:28.892ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle B=1+\max \nolimits _{i=0,\,\ dotsc,\,n-1}|a_{i}|}" loading="lazy"> und</li>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B=\max \left(1,\sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa4f17c163ce1da8b52e762af3b77830a28652ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.518ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle B=\max \left(1,\sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|\right)}" loading="lazy">.</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Komplexe_Nullstellenschranken">Komplexe Nullstellenschranken</h4></div>

Betrachtet man Polynomfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> mit komplexen Koeffizienten, deren Definitionsbereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> ist, dann sind <a href="Kreis" title="Kreis">Kreise</a> um den Nullpunkt der <a href="Komplexe_Zahlenebene" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlenebene">komplexen Zahlenebene</a> das Pendant zu den reellen Nullstellenschranken, deren Radius so groß zu wählen ist, dass alle (bzw. je nach Anwendung auch nur „einige“) komplexen Nullstellen der Polynomfunktion auf der Kreisscheibe mit diesem Radius liegen. Eine Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8972dc624206b40dcfa08c8bf604e5f2d6320b25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}" loading="lazy"> heißt komplexe Nullstellenschranke der Polynomfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, wenn alle Nullstellen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf der Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> liegen (oder anders formuliert: wenn der Betrag jeder Nullstelle kleiner oder gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> ist). Ein Ergebnis für komplexe Polynomfunktionen ist:

<ul><li>Jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8972dc624206b40dcfa08c8bf604e5f2d6320b25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}" loading="lazy">, das die Ungleichung</li></ul>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a_{k}|B^{k}\geq \sum _{i\in \{0,\dotsc ,n\}\setminus \{k\}}|a_{i}|B^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a341014b7402787cf91655f982040cde445e07e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:27.116ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle |a_{k}|B^{k}\geq \sum _{i\in \{0,\dotsc ,n\}\setminus \{k\}}|a_{i}|B^{i}}" loading="lazy"></dd>

<dd>erfüllt, definiert einen Kreis in der komplexen Ebene mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> um den Nullpunkt, der genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> komplexe Nullstellen enthält (Folgerung aus dem <a href="Satz_von_Rouch%C3%A9" title="Satz von Rouché">Satz von Rouché</a>). Diese Ungleichung ist für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0,n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dee06f0eac85496238a4576d8fee4e5561dd93b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.901ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0,n}" loading="lazy"> immer lösbar, aber nicht notwendig für jeden Index <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1,\dotsc ,n-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1,\dotsc ,n-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b24e4269c3627f0c1d794e6124cbb8b1e51ec3b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.048ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=1,\dotsc ,n-1}" loading="lazy">.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4b8cc6fcba0c0b24656b0fb33414d2e6cffb83c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=n}" loading="lazy"> ergibt sich die schon für reelle Polynome angegebene Schranke für den Betrag aller Nullstellen. Alle dort angegebenen direkten Berechnungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> gelten weiter.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> ergibt sich ein Kreis, der keine Nullstellen enthält. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/B}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61137d1df14e664dcb4a34328ed4c24e992bfa29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.089ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/B}" loading="lazy"> ist dann eine Schranke für alle Nullstellen des „reziproken“ Polynoms <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}f(1/x)/a_{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}f(1/x)/a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f49835a9a9863ba7c56ae264d8531d487bc498e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{n}f(1/x)/a_{0}}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lösungsformeln">Lösungsformeln</h3></div>

Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion zu bestimmen. Allgemeine <a href="Iterationsverfahren" class="mw-redirect" title="Iterationsverfahren">Iterationsverfahren</a>, wie das <a href="Newton-Verfahren" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newton-Verfahren</a> und die <a href="Regula_falsi" title="Regula falsi">Regula falsi</a> oder auf Polynomfunktionen spezialisierte Iterationsverfahren, wie das <a href="Bairstow-Verfahren" class="mw-redirect" title="Bairstow-Verfahren">Bairstow-Verfahren</a> oder das <a href="Weierstra%C3%9F-(Durand-Kerner)-Verfahren" title="Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren">Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren</a> sind einerseits auf jede Polynomfunktion anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen an Genauigkeit und <a href="Konvergenzgeschwindigkeit" title="Konvergenzgeschwindigkeit">Konvergenzgeschwindigkeit</a>.

<a href="Lineare_Gleichung" title="Lineare Gleichung">Lineare Gleichungen</a> können direkt durch <a href="%C3%84quivalenzumformung" title="Äquivalenzumformung">Äquivalenzumformungen</a> gelöst werden. Die Nullstellen sind dann immer einfach. Für <a href="Quadratische_Gleichung" title="Quadratische Gleichung">quadratische Gleichungen</a>, <a href="Kubische_Gleichung" title="Kubische Gleichung">kubische Gleichungen</a> und <a href="Quartische_Gleichung" title="Quartische Gleichung">quartische Gleichungen</a> gibt es allgemeine Lösungsformeln.

Für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:

<ul><li>Reziproke Polynomfunktionen haben die Form</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=c_{0}\cdot x^{n}+c_{1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +c_{1}\cdot x+c_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b252edae4a002d829a8b80a895ed107ac2a15e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.409ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=c_{0}\cdot x^{n}+c_{1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +c_{1}\cdot x+c_{0}}" loading="lazy">,</dd></dl></dd>

<dd>das heißt, für den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-ten Koeffizienten gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}=c_{n-i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}=c_{n-i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202026b7ec841a3bc6d35fafc4a164736e9c4623.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.976ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}=c_{n-i}}" loading="lazy">; anders gesagt: Die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Funktionen und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mit Hilfe der <a href="Substitution_(Mathematik)" title="Substitution (Mathematik)">Substitution</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x+1/x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x+1/x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7cff8c8bdcee1d97e896ff2a0aa92e9bf4c2f26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.011ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=x+1/x}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x-1/x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x-1/x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b26919edde15acb9e1ae224c5c6a35ada12a4d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.011ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z=x-1/x}" loading="lazy">) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist.</dd></dl>

<ul><li><a href="Binom" title="Binom">Binome</a> haben die Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{n}+c}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{n}+c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/563ac5d09022a6e3638523f8999f21e9ffd2c0a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{n}+c}" loading="lazy">.</li></ul>

<dl><dd>Setzt man den Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> als reell voraus, so sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Lösungen Vielfache der komplexen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten <a href="Einheitswurzel" title="Einheitswurzel">Einheitswurzeln</a>:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{c}}\cdot \exp \left({2k\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96b40566a646f41113c86c3a0cc59b96d3267292.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.925ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{c}}\cdot \exp \left({2k\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c\geq 0}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mroot>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{\vert c\vert }}\cdot \exp \left({(2k+1)\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1055551a3aa0435ae21ba1a2345c8182c9e87499.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.419ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{\vert c\vert }}\cdot \exp \left({(2k+1)\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c<0}" loading="lazy">,</dd></dl></dd>

<dd>wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0,\dotsc ,n-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0,\dotsc ,n-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cde5e0436b810237a4dba0c7cf957790a5aaefc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.048ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0,\dotsc ,n-1}" loading="lazy"> durchläuft.</dd></dl>

<ul><li>Kann man eine Nullstelle durch ein beliebiges Verfahren oder durch Ausprobieren herausfinden, so kann man den zugehörigen Linearfaktor mit Hilfe einer <a href="Polynomdivision" title="Polynomdivision">Polynomdivision</a> herausdividieren und erhält eine <a href="Algebraische_Gleichung" title="Algebraische Gleichung">algebraische Gleichung</a> niedrigeren Grades. Die Vielfachheiten der Nullstellen ergeben sich hier einfach, indem man abzählt, wie häufig eine Nullstelle jeweils in der Rechnung herauskommt. Für das Finden einer Nullstelle durch Probieren sind dabei folgende Sätze hilfreich:</li>

<li>Polynomfunktionen, die nur gerade Potenzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> enthalten, haben die Form:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+c_{n-4}\cdot x^{n-4}+\dotsb +c_{4}\cdot x^{4}+c_{2}\cdot x^{2}+c_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a85b1377889590c033155ad0ffc059a60b7b5c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:69.351ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+c_{n-4}\cdot x^{n-4}+\dotsb +c_{4}\cdot x^{4}+c_{2}\cdot x^{2}+c_{0}}" loading="lazy"></dd>

<dd>Die Lösung erfolgt durch die Substitution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=x^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d709bd4d2c5d12fbfec1d43dfa9fac6af26b28c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.571ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle z=x^{2}}" loading="lazy">. Hat man eine Lösung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3621e468231ab352b7caa30bcf0ce9b452241a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{1}}" loading="lazy"> gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> abzuleiten sind:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}={\sqrt {z_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b70282a7fe0553eb67a92190dac2da443da0675.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.554ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}={\sqrt {z_{1}}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b750255ad3b3a1086d9483f52d63df5c4558cff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.362ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Polynomfunktionen, die nur ungerade Potenzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> enthalten, haben die Form:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+\dotsb +c_{5}\cdot x^{5}+c_{3}\cdot x^{3}+c_{1}\cdot x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50a2bc5ced1e9bca33c9559f4bc5be630ced477a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.866ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+\dotsb +c_{5}\cdot x^{5}+c_{3}\cdot x^{3}+c_{1}\cdot x}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> aus und behandelt es dann wie ein Polynomfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)}" loading="lazy">-ten Grades, das nur gerade Potenzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> enthält.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Differenzier-_und_Integrierbarkeit">Differenzier- und Integrierbarkeit</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ableitungsfunktion">Ableitungsfunktion</h3></div>

Ganzrationale Funktionen sind über ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> <a href="Stetig_differenzierbare_Funktion" class="mw-redirect" title="Stetig differenzierbare Funktion">stetig differenzierbar</a>. Funktionen, die über ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> beziehungsweise über ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> differenzierbar sind, heißen <a href="Ganze_Funktion" title="Ganze Funktion">ganze Funktionen</a>. Die <a href="Ableitungsfunktion" class="mw-redirect" title="Ableitungsfunktion">Ableitungsfunktion</a> kann mit Hilfe der <a href="Faktorregel" title="Faktorregel">Faktor-</a>, <a href="Summenregel" title="Summenregel">Summen-</a> und <a href="Potenzregel" title="Potenzregel">Potenzregel</a> bestimmt werden. Damit erhält man für die Funktion mit der Vorschrift

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c50a3924d211377227f044c1ab710f403acd584.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:15.995ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}" loading="lazy"></dd></dl>

die Ableitungsfunktion

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7555a9feb34bc3506c8bb220cc1ef6fe73fdad2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.033ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f'(x)=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integrierbarkeit_und_Stammfunktion">Integrierbarkeit und Stammfunktion</h3></div>

Auf einem <a href="Kompaktes_Intervall" class="mw-redirect" title="Kompaktes Intervall">kompakten Intervall</a> ist jede ganzrationale Funktion integrierbar. Außerdem hat jede ganzrationale Funktion eine <a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktion</a>. Diese kann mit den üblichen <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integral</a>-Regeln explizit angegeben werden. Es gilt:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\bigg (}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}{\bigg )}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}\int a_{k}x^{k}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{k+1}}x^{k+1}+c,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b4f70a419e97bc19b47a31ef5c7d3aea2f8ae80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:56.175ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \int {\bigg (}\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}{\bigg )}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}\int a_{k}x^{k}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{k+1}}x^{k+1}+c,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d47ef490c028656282fd8b18c44c4939bbfff750.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.526ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine beliebige Konstante ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_2">Beispiele</h3></div>

Für die Funktion mit dem Term

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82ee3f633c91e9b3d1fdc64de5cc7267b156374c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.785ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt sich die Ableitungsfunktion mit dem Term

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'\\&=(2x^{3})'-(4x^{2})'+(5x)'-1'\\&=2(x^{3})'-4(x^{2})'+5(x^{1})'-1(x^{0})'\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\cdot 1x^{0}-1\cdot 0\\&=6x^{2}-8x+5\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1bcc4520cb2abe3c44f9f97dca4f8615fbfc769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.505ex; width:41.677ex; height:16.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'\\&=(2x^{3})'-(4x^{2})'+(5x)'-1'\\&=2(x^{3})'-4(x^{2})'+5(x^{1})'-1(x^{0})'\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\cdot 1x^{0}-1\cdot 0\\&=6x^{2}-8x+5\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für die Stammfunktionen erhält man in diesem Fall

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+c,c\in \mathbb {R} .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a85e8bc3883cc3a193ff5d54d0b3544471daf6a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:63.044ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+c,c\in \mathbb {R} .}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Extremstellen">Extremstellen</h2></div>

Siehe auch im Artikel <a href="Kurvendiskussion" title="Kurvendiskussion">Kurvendiskussion</a> den Abschnitt über <a href="Kurvendiskussion#Extrempunkte" title="Kurvendiskussion">Extrempunkte</a>.

Zur Bestimmung der Extremstellen müssen zunächst die Stellen mit waagrechter Tangente, also die Nullstellen der ersten Ableitung, berechnet werden. Die erste Ableitung ist wieder eine ganzrationale Funktion, allerdings vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" loading="lazy">; es können also dieselben Methoden wie bei der Nullstellenberechnung benutzt werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Allgemeine_Regeln">Allgemeine Regeln</h3></div>

<ul><li>Hat die Funktion selbst eine Nullstelle gerader Vielfachheit, so hat ihr Graph dort einen Extrempunkt (siehe oben bei Nullstellen).</li></ul>

<ul><li>Wechselt die erste Ableitung an einer Stelle ihr Vorzeichen von − nach +, so ist dort eine Minimalstelle; wechselt es von + nach −, so ist dort eine Maximalstelle; wechselt das Vorzeichen nicht, so ist dort keine Extremstelle (aber ein <a href="Terrassenpunkt" class="mw-redirect" title="Terrassenpunkt">Terrassenpunkt</a>).</li></ul>

<ul><li>Ist die zweite Ableitung bei einer Nullstelle der ersten Ableitung positiv bzw. negativ, so wechselt die erste Ableitung dort ihr Vorzeichen von − nach + (Minimalstelle) bzw. von + nach − (Maximalstelle). Ist die zweite Ableitung gleich null, so kann an dieser Stelle dennoch eine Extremstelle sein, es kann dort aber auch ein <a href="Terrassenpunkt" class="mw-redirect" title="Terrassenpunkt">Terrassenpunkt</a> sein. Zur Unterscheidung sind dann andere Mittel als die zweite Ableitung nötig.</li></ul>

<ul><li>Hat eine Nullstelle der ersten Ableitung ungerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort eine Extremstelle; hat sie dagegen gerade Vielfachheit, so hat die Funktion an dieser Stelle einen <a href="Terrassenpunkt" class="mw-redirect" title="Terrassenpunkt">Terrassenpunkt</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anzahl">Anzahl</h3></div>

Aus dem Satz über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion folgt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> höchstens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" loading="lazy"> Extremstellen haben kann.

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy"> und das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel), so folgt außerdem: Ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die Anzahl der Extremstellen ungerade bzw. gerade.

Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von geradem Grad hat ein absolutes Minimum oder Maximum (je nachdem, ob der Leitkoeffizient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> positiv oder negativ ist).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wendestellen">Wendestellen</h2></div>

Siehe auch im Artikel <a href="Kurvendiskussion" title="Kurvendiskussion">Kurvendiskussion</a> den Abschnitt über <a href="Kurvendiskussion#Wendepunkte" title="Kurvendiskussion">Wendepunkte</a>.

Zur Bestimmung der Wendestellen müssen zunächst die Nullstellen der zweiten Ableitung, die sogenannten Flachstellen, berechnet werden. Die zweite Ableitung ist wieder eine ganzrationale Funktion, allerdings vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff40d66ad535411eedb9c686a9008a5089c35ac0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-2}" loading="lazy">; es können also dieselben Methoden wie bei der Nullstellenberechnung benutzt werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Allgemeine_Regeln_2">Allgemeine Regeln</h3></div>

<ul><li>Hat die Funktion selbst eine Nullstelle ungerader Vielfachheit größer gleich drei, so hat ihr Graph dort einen <a href="Terrassenpunkt" class="mw-redirect" title="Terrassenpunkt">Terrassenpunkt</a>, also auch einen Wendepunkt (siehe oben bei Nullstellen).</li></ul>

<ul><li>Wechselt die zweite Ableitung an einer Stelle ihr Vorzeichen, so ist dort eine Wendestelle.</li></ul>

<ul><li>Ist die dritte Ableitung bei einer Nullstelle der zweiten Ableitung ungleich Null, so wechselt die zweite Ableitung dort ihr Vorzeichen (Wendestelle). Ist die dritte Ableitung gleich null, so kann an dieser Stelle trotzdem eine Wendestelle sein, muss aber nicht. Zur Unterscheidung sind dann andere Mittel als die dritte Ableitung nötig.</li></ul>

<ul><li>Hat eine Nullstelle der zweiten Ableitung gerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort keine Wendestelle; hat die Nullstelle der ersten Ableitung dagegen ungerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort eine Wendestelle. Ist zusätzlich auch die erste Ableitung an dieser Stelle gleich null, so hat der Graph der Funktion dort einen <a href="Terrassenpunkt" class="mw-redirect" title="Terrassenpunkt">Terrassenpunkt</a>.</li></ul>

<ul><li>Insbesondere bei Funktionen dritten Grades gilt:

<ul><li>Hoch- und Tiefpunkt (wenn vorhanden) liegen immer symmetrisch zum Wendepunkt (dies folgt, da die Graphen von Funktionen dritten Grades immer symmetrisch zu ihrem Wendepunkt sind, siehe oben).</li>

<li>Hat die Funktion selbst drei (nicht notwendigerweise verschiedene) reelle Nullstellen, so ergibt sich die Wendestelle als ihr Mittelwert, gewichtet mit den Vielfachheiten. (Gibt es dagegen nur eine reelle Nullstelle, so müssen bei der Mittelwertbildung auch die <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen</a> Nullstellen mit berücksichtigt werden.)</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anzahl_2">Anzahl</h3></div>

Aus dem Satz über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion folgt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> höchstens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff40d66ad535411eedb9c686a9008a5089c35ac0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-2}" loading="lazy"> Wendestellen haben kann.

Wird zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to \pm \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to \pm \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b105bb7c549379dd5714250e1b1afbdea39c11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to \pm \infty }" loading="lazy"> und das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel) betrachtet, so folgt außerdem: Ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die Anzahl der Wendestellen gerade bzw. ungerade.

Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad größer gleich drei hat mindestens eine Wendestelle.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aufstellen_von_Funktionstermen">Aufstellen von Funktionstermen</h2></div>

Oft ist ein Problem folgender Art zu lösen: Gegeben sind einige Punkte und evtl. zusätzliche Bedingungen (wie beispielsweise Steigungen in diesen Punkten), und es ist eine ganzrationale Funktion gesucht, deren Graph durch diese Punkte verläuft und ggf. die zusätzlichen Bedingungen erfüllt. Um diese ganzrationale Funktion zu finden, stellt man zunächst den Funktionsterm in der allgemeinst möglichen Form auf (der Grad ist entweder direkt gegeben oder muss aus den anderen gegebenen Angaben ermittelt werden), bildet evtl. notwendige Ableitungen der Funktion in dieser allgemeinen Form und setzt dann die gegebenen Bedingungen ein. Dies führt auf ein <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">lineares Gleichungssystem</a> für die Koeffizienten der Funktion; diese bezeichnet man statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac21ce278aeb25acfde000832dc2c67905a93eb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.549ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n-1}}" loading="lazy"> usw. hier meist mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"> usw. Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man dann den Term der gesuchten Funktion.

Beispiel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph symmetrisch zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse ist und im Wendepunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(1|3)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(1|3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ea265a8e1e19c3969ac3a764923454577f1ae49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.216ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(1|3)}" loading="lazy"> die Steigung 2 hat.

<ul><li>Da der Graph symmetrisch zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse sein soll, muss der Grad gerade sein, und der Funktionsterm kann nur gerade Exponenten enthalten.</li>

<li>Da es einen Wendepunkt geben soll, kann der Grad nicht 2 sein (eine Funktion zweiten Grades hat keinen Wendepunkt); der niedrigst mögliche Grad ist also 4.</li>

<li>Der Funktionsterm in allgemeinster Form ist also:</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6de91b6d88f34232ba13dd774c52fbcc71322e78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.199ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Da hier von einem Wendepunkt die Rede ist, benötigt man zwei Ableitungen:</li></ul>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)=4ax^{3}+2bx}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7feaac614f243ce32af760e1895d256b64b25cdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.349ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f'(x)=4ax^{3}+2bx}" loading="lazy"></dd>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=12ax^{2}+2b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b868d1b48422f4b47867d654eae68d42e56d61d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.634ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f''(x)=12ax^{2}+2b}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Der Graph verläuft durch den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy">, also gilt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">- und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Koordinate in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> einsetzen)</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3=a\cdot 1^{4}+b\cdot 1^{2}+c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dd0ab7a0644f989de2c492e31d6920f0cbbfb6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.968ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3=a\cdot 1^{4}+b\cdot 1^{2}+c}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Der Graph hat dort die Steigung 2, also gilt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Koordinate und Steigung in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f'}" loading="lazy"> einsetzen)</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2=4a\cdot 1^{3}+2b\cdot 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7029a59ed78ad986f3caac0020ae6501ccc7b27f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:18.391ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2=4a\cdot 1^{3}+2b\cdot 1}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Der Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> ist ein Wendepunkt, also gilt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbbdf186092f4353b7630fa8dda903e493cbbdc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.458ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f''}" loading="lazy"> muss bei Wendestelle gleich 0 sein)</li></ul>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=12a\cdot 1^{2}+2b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/668f66a0a3a96309029464cf4d7c775de9697823.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0=12a\cdot 1^{2}+2b}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Insgesamt ergibt sich also das lineare Gleichungssystem</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b+c=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/775be7722d1cfa7f64cee437dca523e0a4c758db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.176ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b+c=3}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4a+2b=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/624d480aa8c52374d390462472c66b5fa0798465.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.654ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4a+2b=2}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 12a+2b=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6eb3eb0657ecb4be92d155e35578ba3b6d441b11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.816ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 12a+2b=0}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Lösen dieses Gleichungssystems ergibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=-0{,}25;\;b=1{,}5;\;c=1{,}75}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=-0{,}25;\;b=1{,}5;\;c=1{,}75}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74ee445a9af74b6b4f56a3be5f44dea5c413fcd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.936ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=-0{,}25;\;b=1{,}5;\;c=1{,}75}" loading="lazy">. Der Term der gesuchten Funktion ist also:</li></ul>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=-0{,}25x^{4}+1{,}5x^{2}+1{,}75}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07af77237cf353d1b7a6b9f9a6c3dd6022fd266c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.013ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=-0{,}25x^{4}+1{,}5x^{2}+1{,}75}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsbeispiele">Anwendungsbeispiele</h2></div>

<ul><li>Viele in Natur und Technik vorkommende Kurven kann man durch ganzrationale Funktionen relativ gut beschreiben, beispielsweise Geländeformationen, Sprungschanzen oder die Durchbiegung von Balken.</li>

<li>In geometrischen Anwendungen tauchen häufig ganzrationale Funktionen auf. Beispiele:

<ul><li>Schneidet man an den Ecken einer rechteckigen Pappe (Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy">, Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">) jeweils Quadrate der Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> aus und faltet die Pappe dann zu einer oben offenen Schachtel, so ist das Volumen der Schachtel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(x)=4x^{3}-2(l+b)x^{2}+lbx}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(x)=4x^{3}-2(l+b)x^{2}+lbx}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a121f8c50d068012929ca0a10f377cd8a94e9197.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.159ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle V(x)=4x^{3}-2(l+b)x^{2}+lbx}" loading="lazy">.</li>

<li>Stapelt man Kugeln (z. B. Orangen im Supermarkt) zu einer dreiseitigen Pyramide auf, wobei entlang einer Grundkante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Kugeln liegen, so enthält die Pyramide insgesamt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+2n)}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+2n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a62e94abb0fb2208ec3e5d389cdfbeb4a264d36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.766ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+2n)}" loading="lazy"> Kugeln.</li></ul></li>

<li>Steuertarife werden häufig durch ganzrationale Funktionen beschrieben.<a href="#cite_note-2">[2]</a></li>

<li>In wirtschaftlichen Anwendungen ist die <a href="Erl%C3%B6s" title="Erlös">Erlösfunktion</a> häufig eine ganzrationale Funktion dritten Grades.</li>

<li>Da ganzrationale Funktionen besonders einfach sind, werden oft kompliziertere Funktionen durch ganzrationale angenähert (vgl. <a href="Taylorreihe" title="Taylorreihe">Taylorreihe</a> und <a href="Approximationssatz_von_Weierstra%C3%9F" class="mw-redirect" title="Approximationssatz von Weierstraß">Approximationssatz von Weierstraß</a>). Dieses Vorgehen wird insbesondere in der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> und der <a href="Numerik" class="mw-redirect" title="Numerik">Numerik</a> eingesetzt. Alternativ gibt es auch Situationen, in denen eine endliche Anzahl von Funktionswerten vorgegeben ist und eine Funktion gesucht wird, die durch diese Punkte verläuft. Dazu kann die <a href="Polynominterpolation" title="Polynominterpolation">Polynominterpolation</a> eingesetzt werden. Außerdem kann man eine <a href="Endliche_Menge" title="Endliche Menge">endliche Menge</a> von Funktionswerten auch stückweise durch ganzrationale Funktionen interpolieren. Dieses Vorgehen heißt <a href="Splineinterpolation" class="mw-redirect" title="Splineinterpolation">Splineinterpolation</a>. Möchte man eine ganzrationale Funktion an einem Punkt numerisch effizient (für Computer optimiert) auswerten, so kann das <a href="Horner-Schema" title="Horner-Schema">Horner-Schema</a> eingesetzt werden.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>H. Schneider, G. Stein: Mathematik 11 und Mathematik 12: Analysis für nichttechnische Ausbildungsrichtungen der Fachoberschule.</li>

<li>R. Schöwe, J. Knapp, R. Borgmann: Analysis: Kaufmännisch-wirtschaftliche Richtung für Fachoberschule.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Polynomial_functions?uselang=de">Commons: Polynomial functions</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <cite style="font-style:italic">Ganzrationale Funktion</cite>. In: Guido Walz (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Mathematik</cite>. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Ganzrationale+Funktion&rft.atitle=Ganzrationale+Funktion&rft.btitle=Lexikon+der+Mathematik&rft.date=2000&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=3827404398&rft.place=Mannheim%2FHeidelberg&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none">

</li>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20151018171953/http://www.smims.nrw.de/2003/projekte/8/web/projekt8.pdf">PDF.</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 18. Oktober 2015 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>).

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-11-26" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Ganzrationale_Funktion&oldid=261889083">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>